8.4.2 補題：行列 \( A \) と \( I + A \) の固有値およびスペクトル半径の関係
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。このとき、\( I + A \) の固有値は \( \lambda_1 + 1, \ldots, \lambda_n + 1 \) であり、次が成り立つ。
\rho(I + A) \le \rho(A) + 1
さらに、もし \( A \) が非負行列であるならば、
\rho(I + A) = \rho(A) + 1
証明
最初の主張は式 (2.4.2) の結果である。すなわち、
\rho(I + A) = \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i + 1|
\le \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i| + 1
= \rho(A) + 1
一方で、もし \( A \ge 0 \) であれば、式 (8.3.1) により \( \rho(A) + 1 \) は \( I + A \) の固有値である。したがってこの場合、
\rho(I + A) = \rho(A) + 1
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2025.08.05
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