[行列解析8.3.P11]

8.3.問題11

\( A \in M_n \) を非負行列とする。

(a) \( A \) の特性多項式は次のように因数分解できることを説明せよ。

p_A(t) = (t - \rho(A))\,g(t)

ただし、

g(t) = t^{n-1} + \gamma_1 t^{n-2} + \gamma_2 t^{n-3} + \cdots

ここで \( \gamma_1 = \rho(A) - \mathrm{tr}\,A \) である。したがって、\( \gamma_1 = 0 \) であるのは \( \mathrm{tr}\,A = \rho(A) \) のときに限る。

(b) \( n = 3 \) かつ \( \mathrm{tr}\,A = \rho(A) > 0 \) のとき、\( A \) の固有値は次のようになることを説明せよ。

\rho(A), \quad \pm\sqrt{\dfrac{\det A}{\rho(A)}}

これらの固有値は実数または純虚数である。

(c) 魔方陣（magic square）とは、成分が 1 から \( n^2 \) までの異なる整数で構成され、行・列および主対角線と副対角線の和がすべて等しい \( n \times n \) の正の行列である。 \( A \in M_n \) が魔方陣であるとき、次を説明せよ。

\rho(A) = \tfrac{1}{2}n(n^2 + 1)

このとき、\( \rho(A) \) は \( A \) の固有値であり、特性多項式は次の形で表される。

p_A(t) = (t - \rho(A))(t^{n-1} + \gamma_2 t^{n-3} + \cdots)