8.3.問題9
8.3.P9
\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) のうち、非対角成分がすべて非負である行列を本質的に非負（essentially nonnegative）という。
\( A \) が本質的に非負であるとき、ある \( \lambda > 0 \) が存在して \( \lambda I + A \ge 0 \) となる理由を説明せよ。この事実と（8.3.1）を用いて、\( A \in M_n \) が本質的に非負ならば、次の性質をもつ実固有値 \( r(A) \)（しばしば \( A \) の支配固有値と呼ばれる）が存在することを示せ。
r(A) \ge \mathrm{Re}\,\lambda_i
ここで、\( \lambda_i \) は \( A \) の任意の固有値である。さらに、\( r(A) \) は必ずしも最大絶対値の固有値である必要はないが、もし \( A \) が非負であるならば \( r(A) = \rho(A) \) となることを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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