[行列解析8.3.P7]

8.3.問題7

\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。

(a) \( A \) が \( r \ge 1 \) 個の正の成分と \( n - r \) 個の零成分をもつ非負固有ベクトルをもつと仮定する。このとき、ある順列行列 \( P \) が存在して、次が成り立つことを示せ。

P^T A P = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & D \end{bmatrix},

ここで、\( B \in M_r \)、\( D \in M_{n-r} \) は非負行列であり、\( B \) は正の固有ベクトルをもつ。さらに \( r \lt n \) の場合、\( A \) は既約でない（すなわち可約である）ことを結論せよ。

(b) \( A \) が既約であることと、すべての非負固有ベクトルが正であることが同値である理由を説明せよ。