[行列解析7.4.P6]

7.4.問題6

\( A \) を正定値行列とし、そのスペクトル条件数を \( \kappa \) とする。このとき、カントロヴィッチ不等式およびワイラント不等式はそれぞれ次の形で表される：

(4.7.12.16)

(x^* A x)(x^* A^{-1} x) \le \frac{1}{4}(\kappa^{1/2} + \kappa^{-1/2})^2 \|x\|^4, \quad \text{for any } x \in \mathbb{C}^n

(4.7.12.17)

|x^* A y|^2 \le \left( \frac{\kappa - 1}{\kappa + 1} \right)^2 (x^* A x)(y^* A y), \quad \text{for all orthogonal } x, y \in \mathbb{C}^n