目次
- 7.4.1 フォン・ノイマンのトレース定理
- 7.4.1.1 フォン・ノイマンの定理
- 7.4.1.3 系：特異値に関する不等式と等式条件
- 7.4.1.4 定理：半正定値行列におけるトレースの等号条件
- 7.4.1.5 系：特異値と半正定値性に関する結果
- 7.4.2 最も近い特異行列と最も近いランクk行列
- 7.4.3 最小二乗法による線形方程式の解
- 7.4.4 単位行列のスカラー倍による最良近似
- 7.4.5 ユニタリ・プロクルステス問題
- 7.4.6 両側回転問題
- 7.4.7 ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数
- 7.4.7.1 対称ゲージ関数とユニタリ不変ノルムの対応
- 7.4.7.2 定理：ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数の対応関係
- 7.4.8 キーファンの優越定理
- 7.4.8.4 定理：キーファンの優越定理
- 7.4.9 ユニタリ不変ノルムの近似境界
- 7.4.9.1 ユニタリ不変ノルムにおける近似境界の定理
- 7.4.9.3 系：Mirsky の結果
- 7.4.10 ユニタリ不変行列ノルム
- 7.4.10.1 定理：ユニタリ不変ノルムが行列ノルムとなる条件
- 7.4.10.2 系：ユニタリ不変行列ノルムの凸結合
- 7.4.11 絶対ユニタリ不変ノルム
- 7.4.11.1 定理：絶対ユニタリ不変ノルムの特徴付け
- 7.4.12 カントロビッチとヴィーラントの不等式
- 7.4 問題集
7.4 極分解と特異値分解の結果
極分解および特異値分解は、多くの興味深い行列解析の問題に現れる。本節では、そのいくつかの応用例を紹介する。さらに多くの例は問題セクションで提示される。
この節を通して、もし \( X \in M_{m,n} \) であれば、\( q = \min\{m, n\} \) とし、特異値を大きい順に並べて
\sigma_1(X) \ge \sigma_2(X) \ge \cdots \ge \sigma_q(X)
と表すものとする。また、行列 \( \Sigma(X) = [s_{ij}] \) を次のように定める。
s_{ii} = \sigma_i(X) \quad (i = 1, \ldots, q)
すなわち、\( \Sigma(X) \) は \( m \times n \) の対角行列であり、各対角成分が対応する特異値 \( \sigma_i(X) \) である。
行列解析の総本山
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[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
記号の意味
[行列解析9.0]主要な記号一覧
行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。
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2025.11.09
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