[行列解析5.8.P3]

5.8.問題3

行列

B_\varepsilon=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & -1-\varepsilon\end{pmatrix},\quad \varepsilon>0

について固有値と逆行列を計算し、なぜ \(B_\varepsilon\) が正規でないかを説明しなさい。

\(B_\varepsilon^{-1}\) の形から任意ノルムで \(\kappa(B_\varepsilon)=O(\varepsilon^{-1})\) となることを示し、小さい \(\varepsilon\) で条件数が大きくなることを示しなさい。

一方で固有値の最大・最小絶対値の比は \(\varepsilon\to 0\) で有界であることを確認し、特異値の最大・最小比（すなわちスペクトルノルムに基づく条件数）がどう振る舞うかを考察しなさい。

解説メモ：非正規行列では固有値の比だけでは条件の悪さを判定できない典型例です。逆行列要素の振る舞いが大きなノルムを生みます。