[行列解析5.6.P50]

5.6.問題50

5.6.P50

\(\| \cdot \|\) が誘導でない行列ノルムの場合、(5.6.26) より、すべての \(A \in M_n\) に対して \(N(A) \le \|A\|\) となる誘導行列ノルム \(N(\cdot)\) が存在する。
(a) なぜ \( \hat{C} \in M_n \) が存在して \(N(\hat{C}) \lt \|\hat{C}\|\) となるかを説明せよ。
(b) なぜ非特異 \(C \in M_n\) が存在して \(N(C^{-1}) \lt \|C^{-1}\|\) となるかを示せ。
(c) これにより、\(\mathrm{dist}_{\|\cdot\|}(C, S_n) \ge \mathrm{dist}_{N(\cdot)}(C, S_n) = N(C^{-1})^{-1} \gt \|C^{-1}\|^{-1}\) が成立する理由を説明せよ。