am-gm不等式の初等的な証明

AM-GM不等式の証明は山のようにありますが、ここでは内田康晴さんが２００８年に論文で発表した証明方法を簡単に紹介します。

２００８年に論文で発表された証明方法

2変数ならともかく、\(n\)変数のAM-GM不等式の証明は意外に手こずります。

それを初等的な不等式の性質だけを使い、２００８年時点ではまだ論文として発表されていなかった証明方法をこれから述べます。

実際の論文の内容は関連リンクから辿っていけますが、自力で証明に挑戦してみてもよいかもしれません。

本証明を通じて、また新たな証明方法が発見できるかもしれません。

道具は、下記の不等式です。

\(a_1 \ge a_2, b_1 \ge b_2\)とすると

\(a_1 b_1+a_2 b_2 \ge a_1 b_2 + a_2 b_1\)

この初等的な不等式と、nに関する数学的帰納法を使って証明します。

アイデアを示す部分の不等式だけ書いておきます。

\( {x_1}^{n+1}+{x_2}^{n+1}+\cdots+{x_{n+1}}^{n+1}\)
\(\ge ({x_1}^n+{x_2}^n+\cdots+{x_n}^n)x_{n+1}+x_1 x_2 \cdots x_{n+1}\)

帰納法を適用する部分はすぐにわかると思います。

この不等式をベースに適宜経過式を補完していけば、AM-GM不等式の初等的な証明が完成します。

\(x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_{n+1}\)となるように添え字を付け替えます。

すると

\({x_1}^{n+1}+{x_{n+1}}^{n+1} \)

\(= {x_1}^n x_1+ {x_{n+1}}^n x_{n+1} \)

\(\ge {x_1}^n x_{n+1}+ x_1 {x_{n+1}}^n \)

が成立する。

\({x_2}^{n+1}+x_1 {x_{n+1}}^n\)

\(={x_2}^n {x_2}+(x_1 {x_{n+1}}^{n-1}) x_{n+1}\)

\(\ge {x_2}^n x_{n+1}+x_2 (x_1 {x_{n+1}}^{n-1})\)