[行列解析5.6.9]定理：行列ノルムとスペクトル半径の関係

5.6.9

定理 5.6.9. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\( A \in M_n \)、および \( \lambda \) を \( A \) の固有値とする。このとき次が成立する。

(a) \( |\lambda| \leq \rho(A) \leq \lVert A \rVert \)

もし \( A \) が正則であるならば：

(b) \( \rho(A) \geq |\lambda| \geq 1 / \lVert A^{-1} \rVert \)

演習: \( A, B \in M_n \) が正規行列である場合、なぜ \( \rho(A) = \lVert A \rVert_2 \) かつ \( \rho(AB) \leq \lVert AB \rVert_2 \leq \lVert A \rVert_2 \lVert B \rVert_2 = \rho(A) \rho(B) \) が成立するのか説明せよ。また、\( C, D \in M_n \) で \( \rho(CD) > \rho(C) \rho(D) \) となる例を示せ。

演習: \( A \in M_n \) の特異値を \( \sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n \geq 0 \)、絶対固有値を \( |\lambda_1| \geq \dots \geq |\lambda_n| \) とする。スペクトルノルムと前定理の上界を用いて、\( |\lambda_1| \leq \sigma_1 \) および、もし \( A \) が正則であれば \( |\lambda_n| \geq \sigma_n > 0 \) を示せ。ヒント: \( A^{-1} \) の最大特異値は何か？

演習: \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとする。次を示せ：

(a) \( C^n \) 上で定義された関数 \( \lVert x \rVert = \lVert x e^T \rVert = \lVert [x \ \dots \ x] \rVert \) はベクトルノルムである。

(b) 任意の \( x \in C^n \)、任意の \( A \in M_n \) に対して \( \lVert A x \rVert \leq \lVert A \rVert \lVert x \rVert \) が成立する。すなわち、\( C^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) は行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) と整合的である。従って、任意の \( M_n \) 上の行列ノルムに対して、整合する \( C^n \) 上のベクトルノルムが存在する。

演習: \( N(\cdot) \) を \( M_n \) 上の任意のノルム（必ずしも行列ノルムである必要はない）とし、これに整合する \( C^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が存在すると仮定する。すなわち、任意の \( A \in M_n \) および任意の \( x \in C^n \) に対して \( \lVert A x \rVert \leq N(A) \lVert x \rVert \) が成立するとする。このとき、任意の \( A \in M_n \) に対して \( N(A) \geq \rho(A) \) が従うことを示せ。ヒント: \( A x = \lambda x \) かつ \( x \neq 0 \) となる \( x \) を考える。

スペクトル半径関数自体は \( M_n \) 上のノルムではない（参照: (5.6.P19)）が、任意の \( A \in M_n \) に対して、すべての行列ノルムの値に対する下界として最大値を与える。