5.6.5
例 5.6.5. 行列の最大行和ノルム \(\|\!|\cdot\|\!|_\infty\) は、\(M_n\) 上で次のように定義されます。
\|\!|A\|\!|_\infty = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|
ここで主張するのは、\(\|\!|\cdot\|\!|_\infty\) がベクトル空間 \(\mathbb{C}^n\) 上の \( \ell_\infty \)-ノルムによって誘導される行列ノルムである、ということである。つまり、任意のベクトル \(x\) に対して \(\|Ax\|_\infty \le \|\!|A\|\!|_\infty \|x\|_\infty\) が成り立ち、さらに等号を達成する単位ベクトルが存在することを示す。
まず次を計算する。
\|Ax\|_\infty \\
= \max_{1 \le i \le n} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| \\
\le \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^n |a_{ij} x_j| \\
\le \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|\,\|x\|_\infty \\
= \|\!|A\|\!|_\infty \, \|x\|_\infty .
したがって \(\max_{\|x\|_\infty = 1} \|Ax\|_\infty \le \|\!|A\|\!|_\infty\)。これは誘導ノルムの上界を与える側である。
次に下界（＝上界が達成されること）を示す。もし \(A=0\) なら自明である。\(A \neq 0\) として、ある行 \(k\) が全て 0 でないものとする。ベクトル \(z=[z_i]\in\mathbb{C}^n\) を次のように定義する：
z_i = \begin{cases}
\overline{a_{k i}} / |a_{k i}|, & \text{if } a_{k i} \neq 0,\\
1, & \text{if } a_{k i} = 0.
\end{cases}
この \(z\) は \(\|z\|_\infty = 1\) を満たし、さらに \(a_{k j} z_j = |a_{k j}|\) がすべての \(j\) について成り立つ。したがって
\max_{\|x\|_\infty = 1} \|Ax\|_\infty \ge \|Az\|_\infty \\
= \max_{1 \le i \le n} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} z_j \right| \\
\ge \sum_{j=1}^n a_{k j} z_j \\
= \sum_{j=1}^n |a_{k j}|.
上式は任意の非零行 \(k\) について成り立つので、結局
\max_{\|x\|_\infty = 1} \|Ax\|_\infty \\
\ge \max_{1 \le k \le n} \sum_{j=1}^n |a_{k j}| \\
= \|\!|A\|\!|_\infty .
以上より、\(\max_{\|x\|_\infty = 1} \|Ax\|_\infty = \|\!|A\|\!|_\infty\) が示され、\(\|\!|\cdot\|\!|_\infty\) は \( \ell_\infty \)-ノルムから誘導される行列ノルムであることが確定する。
演習.
定義に基づいて直接、\(\|\!|\cdot\|\!|_\infty\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであることを検証しなさい。
行列解析の総本山
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