5.4.問題3
5.4.P3
\( 1 \le p_1 \lt p_2 \lt \infty \) の場合、\( \mathbb{C}^n \) または \( \mathbb{R}^n \) 上の対応する \( l_p \)-ノルム間の最適境界は次の通りであることを示せ:
\|x\|_{p_2} \le \|x\|_{p_1} \le n^{\frac{1}{p_1} - \frac{1}{p_2}} \|x\|_{p_2}
また、次の表の各項目について、与えられた境界 \( \|x\|_\alpha \le C_{\alpha\beta} \|x\|_\beta \) を確認せよ。
[C_{\alpha\beta}] =
\begin{bmatrix}
1 & \sqrt{n} & n \\
1 & 1 & \sqrt{n} \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}, \quad \\
\alpha \backslash \beta
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & \infty \\
1 & 2 & \infty \\
1 & 2 & \infty
\end{bmatrix}
各項目について、境界が達成される非零ベクトル \( x \) を示せ。
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[行列解析]総本山
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