5.4.12
定義 5.4.12. \( V = F^{n} \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、次の関数を 双対ノルム と呼ぶ：
f^D(y) = \max_{f(x)=1} \mathrm{Re}\, y^* x
双対ノルムは \( V \) 上で適切に定義された関数であることに注意する。なぜなら、各固定された \( y \in V \) に対して \(\mathrm{Re}\, y^* x\) は連続関数であり、集合 \(\{ x : f(x) = 1 \}\) はコンパクトだからである。ワイエルシュトラスの定理により、\(\mathrm{Re}\, y^* x\) の最大値はこの集合内のある点で達成される。
スカラー \( c \) が \(|c| = 1\) を満たすとき、プレノルムの斉次性により次が成り立つ：
\max_{f(x)=1} |y^* x| = \max_{f(x)=1} \max_{|c|=1} \mathrm{Re}(c\,y^* x) \\
= \max_{f(x)=1} \mathrm{Re}\, y^* x
さらに、別の便利な表現として次も成り立つ：
f^D(y) = \max_{f(x)=1} |y^* x| = \max_{x \neq 0} \frac{|y^* x|}{f(x)}
関数 \( f^D(\cdot) \) は斉次的で正であり、三角不等式も満たす。具体的には、もし \( y \neq 0 \) ならば、プレノルムの斉次性より：
f^D(y) = \max_{f(x)=1} |y^* x| \ge \frac{y^* y}{f(y)} = \frac{\|y\|_2^2}{f(y)} > 0
また、プレノルム \( f(\cdot) \) が三角不等式を満たさない場合でも、双対ノルム \( f^D(\cdot) \) は常に三角不等式を満たす：
f^D(y + z) \\
= \max_{f(x)=1} |(y+z)^* x| \\
\le \max_{f(x)=1} (|y^* x| + |z^* x|) \\
\le f^D(y) + f^D(z)
したがって、プレノルムの双対ノルムは正で斉次的かつ三角不等式を満たすため、常にノルムである。特に、ノルムの双対ノルムも常にノルムである。
以下の補題では、双対ノルムに関する簡単な不等式を示しており、これはコーシー–シュワルツの不等式の自然な一般化である。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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