[行列解析5.4.6]有限次元ベクトル空間におけるノルムの独立性と極限の一致

5.4.6
行列解析の総本山

5.4.6

系 5.4.6. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) を考える。もし \(\{x^{(k)}\}\) が \(V\) におけるベクトル列であるならば、次が成り立つ。

\(\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x\) がノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) に関して成り立つのは、\(\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x\) がノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) に関して成り立つ場合に限る。

証明. すべての \(k\) に対して次が成り立つとする。

C_{m}\lVert x^{(k)} - x \rVert_{\alpha} \\ \leq \lVert x^{(k)} - x \rVert_{\beta} \\ \leq C_{M}\lVert x^{(k)} - x \rVert_{\alpha}

この不等式から、\(\lVert x^{(k)} - x \rVert_{\alpha} \to 0 \, (k \to \infty)\) であることと、\(\lVert x^{(k)} - x \rVert_{\beta} \to 0 \, (k \to \infty)\) であることは同値であることが従う。