[行列解析4.5.6]定義（慣性(inertia)）

4.5.6

定義 4.5.6.

\(A \in M_{n}\) がエルミート行列であるとする。

\(A\) の慣性（inertia）とは、順序付き三つ組

i(A) = (i_{+}(A), i_{-}(A), i_{0}(A))

をいう。ここで \(i_{+}(A)\) は \(A\) の正の固有値の個数、\(i_{-}(A)\) は負の固有値の個数、\(i_{0}(A)\) は零の固有値の個数である。

また、\(A\) のシグネチャ（signature）とは次の量である。

\text{signature}(A) = i_{+}(A) - i_{-}(A)

演習.

なぜ \(\mathrm{rank}(A) = i_{+}(A) + i_{-}(A)\) となるのかを説明せよ。

演習.

なぜエルミート行列の慣性は、そのランクとシグネチャによって一意に決まるのかを説明せよ。

\(A \in M_{n}\) をエルミート行列とし、

A = U \Lambda U^{*}

と書く。

ただし、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})\) であり、\(U\) はユニタリ行列である。

ここで、\(\Lambda\) の対角成分を正の固有値、次に負の固有値、最後に零の固有値（もし存在すれば）の順に並べることにする。したがって

\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i_{+}(A)} \gt 0, \quad \\ \lambda_{i_{+}(A)+1}, \ldots, \lambda_{i_{+}(A)+i_{-}(A)} \lt 0, \quad \\ \lambda_{i_{+}(A)+i_{-}(A)+1} = \cdots = \lambda_{n} = 0

とする。次に、実対角正則行列 \(D\) を次のように定義する。

D = \mathrm{diag}\bigl( \lambda_{1}^{1/2}, \ldots, \lambda_{i_{+}(A)}^{1/2}, \\ (-\lambda_{i_{+}(A)+1})^{1/2}, \ldots, (-\lambda_{i_{+}(A)+i_{-}(A)})^{1/2},\\ 1, \ldots, 1 \bigr)

ここで、最初の \(i_{+}(A)\) 個は正の固有値に対応する平方根、次の \(i_{-}(A)\) 個は負の固有値の絶対値の平方根、残りの \(i_{0}(A)\) 個は 1 である。

すると、\(\Lambda = D I(A) D\) が成り立ち、ここで実行列

I(A) = I_{i_{+}(A)} \oplus (-I_{i_{-}(A)}) \oplus 0_{i_{0}(A)}

を \(A\) の慣性行列（inertia matrix）と呼ぶ。最終的に次が成り立つ。

A = U \Lambda U^{*} = U D I(A) D U^{*} = S I(A) S^{*}

ここで \(S = U D\) は正則行列である。以上により、次の定理が証明された。