[行列解析4.3.P30]シュールのメジャライゼーション定理のブロック行列への一般化

4.3.問題30

シュールのメジャライゼーション定理 (4.3.45) には、ブロック行列に対する一般化があり、不等式 (4.3.46) に中間項を導入する。

\(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k\) を分割されたエルミート行列とし、\(d(A) = [a_{ii}]_{i=1}^n\) を対角成分ベクトルとする。

このとき、\(d(A)\) が \(\lambda(A_{11} \oplus \cdots \oplus A_{kk})\) によりメジャライズされ、さらにそれが \(\lambda(A)\) によりメジャライズされることを証明せよ。

対角ブロック行列 \(D=A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{kk}\) を考える。まず各ブロックにシュールのメジャライゼーション定理を適用し、その後、ブロック版シュールの定理を用いて \(\lambda(D)\) と \(\lambda(A)\) を比較する。

対角ブロック行列

D=A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{kk}

を考える。

各対角ブロック \(A_{ii}\) はエルミート行列であるから、シュールのメジャライゼーション定理より、それぞれについて

d(A_{ii})\preceq\lambda(A_{ii})

が成り立つ。

対角成分ベクトル \(d(A)\) は各 \(d(A_{ii})\) を並べたものであり、また \(D\) の固有値ベクトルは各 \(A_{ii}\) の固有値ベクトルを合わせたものである。したがって、メジャライズの直和に関する性質より、

d(A)\preceq\lambda(D)

を得る。

一方、ブロック版シュールのメジャライゼーション定理より、

\lambda(D)\preceq\lambda(A)

が成り立つ。

メジャライズは推移的であるから、

d(A)\preceq\lambda(D)\preceq\lambda(A)

を得る。

すなわち、対角成分ベクトル \(d(A)\) は対角ブロック行列 \(A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{kk}\) の固有値ベクトルによりメジャライズされ、さらにその固有値ベクトルは \(A\) の固有値ベクトルによりメジャライズされる。

この結果は、シュールのメジャライゼーション定理とブロック版シュールの定理を組み合わせることにより、不等式 (4.3.46) の間に自然な中間項 \(\lambda(A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{kk})\) を与える一般化となっている。