[行列解析4.3.P14]固有値和の凹凸性の証明

4.3.P14　

4.3.問題14

\( r \in \{1, \ldots , n\} \) とし、\( H_n \) を \( n \times n \) のエルミート行列の実ベクトル空間とする。与えられた \( A \in H_n \) に対して、その固有値を (4.2.1) のように順序づける。

(4.2.1)

\lambda_{\min} = \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_{n-1} \leq \lambda_n = \lambda_{\max}

ここで \( f_r(A) = \lambda_1(A) + \cdots + \lambda_r(A) \)、また \( g_r(A) = \lambda_{n-(r-1)}(A) + \cdots + \lambda_n(A) \) と定義する。

\( f_r \) が \( H_n \) 上で凹関数であり、\( g_r \) が \( H_n \) 上で凸関数であることを示せ。

エルミート行列に対するミニマックス原理（Courant–Fischer の定理）を用いる。

特に、 \( f_r(A) \) は「\( r \) 次元部分空間上でのトレースの最小値」として表される。この表示を用いると、各部分空間に対して線形な関数の最小値になっているため、 \( f_r \) が凹関数であることが分かる。

また、 \( g_r(A) = -f_r(-A) \) を用いれば、\( g_r \) の凸性も従う。

\( A \in H_n \) とする。エルミート行列の固有値を

\lambda_1(A)\leq \lambda_2(A)\leq \cdots \leq \lambda_n(A)

と並べる。まず \( f_r \) の凹性を示す。

Courant–Fischer の定理より、 \( r \) 個の最小固有値の和は

f_r(A) = \min_{\dim V=r} \operatorname{tr}(P_VA)

と表される。ただし \( P_V \) は部分空間 \( V \) への直交射影である。

ここで \( A,B\in H_n \)、\( 0\leq t\leq 1 \) とする。任意の \( r \) 次元部分空間 \( V \) に対して、トレースの線形性より

\operatorname{tr}\bigl(P_V(tA+(1-t)B)\bigr) = t\,\operatorname{tr}(P_VA) + (1-t)\,\operatorname{tr}(P_VB)

が成り立つ。したがって、

\begin{aligned} f_r(tA+(1-t)B) &= \min_{\dim V=r} \operatorname{tr}\bigl(P_V(tA+(1-t)B)\bigr) \\ &= \min_{\dim V=r} \left( t\,\operatorname{tr}(P_VA) + (1-t)\,\operatorname{tr}(P_VB) \right) \\ &\geq t\min_{\dim V=r}\operatorname{tr}(P_VA) + (1-t)\min_{\dim V=r}\operatorname{tr}(P_VB) \\ &= t f_r(A)+(1-t)f_r(B) \end{aligned}

を得る。よって \( f_r \) は \( H_n \) 上の凹関数である。

次に \( g_r \) の凸性を示す。エルミート行列 \( A \) の固有値を \( \lambda_1(A)\leq \cdots \leq \lambda_n(A) \) とすると、 \( -A \) の固有値は

-\lambda_n(A)\leq \cdots \leq -\lambda_1(A)

である。したがって、

\begin{aligned} f_r(-A) &= -\lambda_n(A)-\lambda_{n-1}(A)-\cdots-\lambda_{n-r+1}(A) \\ &= -g_r(A) \end{aligned}

すなわち \( g_r(A)=-f_r(-A) \) である。

\( f_r \) は凹関数であるから、 \( A\mapsto f_r(-A) \) も凹関数であり、その負号を取った \( g_r \) は凸関数となる。実際、

\begin{aligned} g_r(tA+(1-t)B) &= -f_r(-(tA+(1-t)B)) \\ &= -f_r(t(-A)+(1-t)(-B)) \\ &\leq -tf_r(-A)-(1-t)f_r(-B) \\ &= tg_r(A)+(1-t)g_r(B) \end{aligned}

となる。よって \( g_r \) は \( H_n \) 上で凸関数である。