4.3.P10
4.3.問題10
\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) が正規行列であるとする。このとき、\(A = U \Lambda U^\*\) が成り立ち、ここで \(U = [u\_{ij}] \in M\_n\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda\_1,\ldots,\lambda\_n) \in M\_n\) は実数である必要はない。次を示せ。
S = [|u\_{ij}|^2] \text{ は二重確率行列であり}, \quad \mathrm{diag}(A) = S (\mathrm{diag}(\Lambda))
ユニタリ行列 \(U\) からこのように得られる二重確率行列 \(S\) を ユニストキャスティック (unistochastic) という。もし \(U\) が実行列なら（例えば (4.3.52) の証明のように）、その場合 \(S\) は オルソストキャスティック (orthostochastic) と呼ばれる。
ヒント
\(U\) がユニタリ行列であることから、各行・各列は長さ \(1\) の直交ベクトルになる。したがって、各行・各列について成分の絶対値平方和は \(1\) となる。
また、\(A = U \Lambda U^\*\) の対角成分を直接計算すると、 \(a_{ii}\) は \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) の重み付き平均の形になる。この重みが \(S=[|u_{ij}|^2]\) の成分であることを確認すればよい。
解答例
\(U=[u_{ij}] \in M_n\) をユニタリ行列とし、
U^\*U=UU^\*=I
が成り立つとする。
まず
S=[s_{ij}], \qquad s_{ij}=|u_{ij}|^2
と定める。
\(U\) の第 \(i\) 行ベクトルを考えると、ユニタリ性より各行ベクトルは長さ \(1\) であるから、
\sum_{j=1}^n |u_{ij}|^2 =1
が成り立つ。すなわち、
\sum_{j=1}^n s_{ij}=1
である。
同様に、\(U\) の第 \(j\) 列ベクトルも長さ \(1\) であるから、
\sum_{i=1}^n |u_{ij}|^2 =1
すなわち、
\sum_{i=1}^n s_{ij}=1
となる。
以上より、\(S\) の各成分は非負であり、各行和・各列和はいずれも \(1\) である。したがって \(S\) は二重確率行列である。
次に、\(A=U\Lambda U^\*\) の対角成分を計算する。
\(\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) より、
(U\Lambda)_{ik}
=
u_{ik}\lambda_k
であるから、
a_{ii}
=
(U\Lambda U^\*)_{ii}
=
\sum_{k=1}^n (U\Lambda)_{ik}\overline{u_{ik}}
=
\sum_{k=1}^n u_{ik}\lambda_k \overline{u_{ik}}
したがって、
a_{ii}
=
\sum_{k=1}^n |u_{ik}|^2 \lambda_k
=
\sum_{k=1}^n s_{ik}\lambda_k
を得る。
よって、
\mathrm{diag}(A)
=
S\,(\mathrm{diag}(\Lambda))
が成り立つ。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント