[行列解析4.3.P2]非エルミート行列でのヴェイア不等式の破れ

4.3.P2

4.3.問題2

次の行列を考える。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

このとき、もし \(A, B\) がエルミートでない場合、ヴェイアの不等式 (4.3.2a,b) が必ずしも成り立たないことを示せ。

与えられた行列 \( A, B \) の固有値と \( A+B \) の固有値をそれぞれ計算する。その上で、ヴェイアの不等式 \( \lambda_i(A+B) \leq \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B) \) が成り立つかどうかを具体的に比較する。

まず行列 \( A, B \) の固有値を求める。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

それぞれの特性多項式は \( \det(\lambda I - A) = \lambda^2 \), \( \det(\lambda I - B) = \lambda^2 \) であるから、いずれも固有値は \( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 0 \) である。

次に \( A+B \) を計算する。

A+B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

この固有値は

\det(\lambda I - (A+B)) = \lambda^2 - 1 = 0

より \( \lambda_1(A+B) = -1, \lambda_2(A+B) = 1 \) である（昇順に並べた）。

ここでヴェイアの不等式

\lambda_i(A+B) \leq \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B)

を \( n=2, i=2, j=0 \) の場合について調べると、右辺は \( \lambda_2(A) + \lambda_2(B) = 0 + 0 = 0 \) である。

一方、左辺は \( \lambda_2(A+B) = 1 \) であるから、

1 \leq 0

となり、これは成り立たない。

したがって、行列 \( A, B \) がエルミートでない場合には、ヴェイアの不等式は一般には成り立たないことがわかる。