[行列解析4.2.P8]固有値の単調性の証明

4.2.P8

4.2.問題8

\( A, B \in M_n \) がエルミート行列であり、\( B \) が半正定値であるとする。また、固有値列 \(\{\lambda_i(A)\}_{i=1}^n\) と \(\{\lambda_i(B)\}_{i=1}^n\) は (4.2.1) のように順序付けられているとする。

(4.2.1)

\lambda_{\min} = \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_{n-1} \leq \lambda_n = \lambda_{\max}

(4.2.6) を用いて、すべての \( k = 1, \ldots, n \) に対して次を示しなさい。

\lambda_k(A+B) \geq \lambda_k(A)

クーラント＝フィッシャーの定理の最小最大表示を用いる。特に、任意のベクトル \( x \) に対して \( x^*(A+B)x = x^*Ax + x^*Bx \) であることに注目し、\( B \) の寄与を評価する。

エルミート行列 \( A, B \in M_n \) を考える。クーラント＝フィッシャーの定理より

\lambda_k(A) = \min_{\dim S = k} \max_{\substack{x \in S \\ x \neq 0}} \frac{x^*Ax}{x^*x}

\lambda_k(A+B) = \min_{\dim S = k} \max_{\substack{x \in S \\ x \neq 0}} \frac{x^*(A+B)x}{x^*x}

が成り立つ。

ここで任意の部分空間 \( S \) と \( x \in S \setminus \{0\} \) に対して

\frac{x^*(A+B)x}{x^*x} = \frac{x^*Ax}{x^*x} + \frac{x^*Bx}{x^*x}

である。

\( B \) はエルミート行列であるから、(4.2.2(c)) より \( \frac{x^*Bx}{x^*x} \geq \lambda_{\min}(B) \) が成り立つ。特に \( B \) が半正定値であれば \( \frac{x^*Bx}{x^*x} \geq 0 \) である。

したがって

\frac{x^*(A+B)x}{x^*x} \geq \frac{x^*Ax}{x^*x}

がすべての \( x \neq 0 \) に対して成立する。

よって任意の部分空間 \( S \) に対して

\max_{x \in S,\,x \neq 0} \frac{x^*(A+B)x}{x^*x} \geq \max_{x \in S,\,x \neq 0} \frac{x^*Ax}{x^*x}

が成り立つ。

両辺について \( \dim S = k \) の部分空間全体で最小値をとると

\lambda_k(A+B) = \min_{\dim S = k} \max_{x \in S,\,x \neq 0} \frac{x^*(A+B)x}{x^*x} \geq \min_{\dim S = k} \max_{x \in S,\,x \neq 0} \frac{x^*Ax}{x^*x} = \lambda_k(A)

が得られる。

以上より、すべての \( k = 1, \ldots, n \) に対して \( \lambda_k(A+B) \geq \lambda_k(A) \) が示された。