4.2.P7
4.2.問題7
rank-nullity 定理：
\dim(\operatorname{range} A) + \dim(\operatorname{nullspace} A) = \operatorname{rank} A + \operatorname{nullity} A = n零空間は、\( m \) 個の一次斉次方程式を満たす \( \mathbb{F}^n \) のベクトルの集合。
ランク・ヌル定理 (0.2.3.1) が部分空間の交わり補題 (0.1.7.1) と (4.2.3) を含意することを示しなさい。
\begin{align}&\dim(S_1 \cap S_2) + \dim(S_1 + S_2) \notag \\
&= \dim S_1 + \dim S_2 \notag
\end{align}補題 4.2.3（部分空間の共通部分） \( S_1, \ldots, S_k \) を \( \mathbb{C}^n \) の部分空間とする。もし
\delta = \dim S_1 + \cdots + \dim S_k - (k - 1)n \geq 1であるならば、互いに直交するベクトル \( x_1, \ldots, x_\delta \) が存在し、それぞれが全ての \( i = 1, \ldots, k \) に対して \( x_j \in S_i \) を満たす。特に、\( S_1 \cap \cdots \cap S_k \) には単位ベクトルが含まれる。
ヒント
部分空間を線形写像の零空間として表すのがポイントである。特に、\( S_1 \cap S_2 \) は連立方程式の解空間として表現できる。ランク・ヌル定理を適用して次元の関係式を導く。
解答例
まず、部分空間 \( S_1, S_2 \subset \mathbb{F}^n \) を考える。各部分空間は、それぞれある行列 \( A_1, A_2 \) を用いて \( S_1 = \operatorname{nullspace}(A_1), \; S_2 = \operatorname{nullspace}(A_2) \) と表せる。
このとき共通部分は \( S_1 \cap S_2 = \operatorname{nullspace}\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} \) と書ける。
ここで行列
A = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}
に対してランク・ヌル定理を適用すると
\dim(\operatorname{nullspace} A) = n - \operatorname{rank} A
となる。一方で、行列のランクについては
\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A_1 + \operatorname{rank} A_2 - \operatorname{rank}(A_1, A_2)
と考えることで、次元公式
\dim(S_1 \cap S_2) + \dim(S_1 + S_2) = \dim S_1 + \dim S_2
が導かれる。
次に一般の場合として、部分空間 \( S_1, \ldots, S_k \subset \mathbb{C}^n \) を考える。それぞれ \( S_i = \operatorname{nullspace}(A_i) \) と表すと、
S_1 \cap \cdots \cap S_k
= \operatorname{nullspace}
\begin{pmatrix}
A_1 \\
\vdots \\
A_k
\end{pmatrix}
となる。したがってランク・ヌル定理より
\dim(S_1 \cap \cdots \cap S_k)
= n - \operatorname{rank}
\begin{pmatrix}
A_1 \\
\vdots \\
A_k
\end{pmatrix}
である。
ここでランクは各 \( A_i \) のランクの和で上から抑えられるので、
\operatorname{rank}
\begin{pmatrix}
A_1 \\
\vdots \\
A_k
\end{pmatrix}
\leq \sum_{i=1}^k \operatorname{rank}(A_i)
が成り立つ。よって
\dim(S_1 \cap \cdots \cap S_k)
\geq n - \sum_{i=1}^k \operatorname{rank}(A_i)
さらに \( \dim S_i = n - \operatorname{rank}(A_i) \) を用いると
\dim(S_1 \cap \cdots \cap S_k)
\geq \sum_{i=1}^k \dim S_i - (k-1)n
となる。したがって \( \delta = \sum_{i=1}^k \dim S_i - (k-1)n \geq 1 \) であれば、共通部分の次元は少なくとも 1 であり、特に非零ベクトルが存在する。
さらに内積空間の標準的な直交化により、互いに直交する \( \delta \) 個のベクトルをとることができる。よって補題 4.2.3 が従う。
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