4.1.P13
4.1.問題13
\(A \in M_n\) が非零であるとする。
(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等号成立はある非零 \(a \in \mathbb{C}\) とエルミート射影 \(H\) が存在して \(A = aH\) のときに限ることを示せ。
(b) A が正規行列ならば、\(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}\) であることを説明せよ。
したがって、\(A\) がエルミートの場合には \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^2}\) が成り立つ。
ヒント
内積 \( \langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(Y^*X) \) を用いると、行列空間でもコーシー・シュワルツの不等式が使える。\(A\) と単位行列との内積を考えることで不等式を導く。等号条件はコーシー・シュワルツの等号条件から従う。
解答例
(a) 行列空間における内積を
\langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(Y^*X)
で定める。このときコーシー・シュワルツの不等式より
|\mathrm{tr}(A)|^2 = |\langle A,I\rangle|^2 \le \langle A,A\rangle \langle I,I\rangle = \mathrm{tr}(A^*A)\cdot n
さらに、\(A\) の像の次元を \(r = \mathrm{rank}\,A\) とする。適当なユニタリ行列により \(A\) を
A = U \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V
と書ける（ここで \(A_1\) は \(r\times r\) 行列）。このとき
\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A_1), \quad \mathrm{tr}(A^*A) = \mathrm{tr}(A_1^*A_1)
であるから、再びコーシー・シュワルツの不等式を \(r\) 次元に適用すると
|\mathrm{tr}(A)|^2 \le r \, \mathrm{tr}(A^*A)
が得られる。したがって
\mathrm{rank}\,A = r \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}
となる。
等号成立はコーシー・シュワルツの等号条件より、\(A_1\) がスカラー倍の単位行列であるとき、すなわちある \(a \ne 0\) と階数 \(r\) の射影 \(H\) が存在して
A = aH
と書ける場合に限る。このとき \(H\) はエルミート射影である。
(b) \(A\) が正規行列であれば、ユニタリ行列 \(U\) により
U^*AU = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
と対角化できる。このとき
H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*)
は同じ \(U\) により
U^*H(A)U = \mathrm{diag}(\mathrm{Re}\,\lambda_1,\dots,\mathrm{Re}\,\lambda_n)
と対角化される。したがって (a) の結果を \(H(A)\) に適用すると
\mathrm{rank}\,H(A) \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}
が成り立つ。また明らかに \( \mathrm{rank}\,A \ge \mathrm{rank}\,H(A) \) であるから
\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}
が従う。
特に \(A\) がエルミートならば \(H(A)=A\) であるから
\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^2}
が得られる。
補足
次の行列\(A\)で順に確認する。
A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{pmatrix}
まず階数は \(\mathrm{rank}\,A = 2\) （行が一次従属）
次にトレース \( \mathrm{tr}\,A = 1+5+9 = 15 \)
つぎに \(A^*A = A^{\top}A \)
計算すると
A^{\top}A =
\begin{pmatrix}
66 & 78 & 90\\
78 & 93 & 108\\
90 & 108 & 126
\end{pmatrix}
したがって
\( \mathrm{tr}(A^*A) = 66+93+126 = 285 \)
不等式の右辺：
\frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}(A^*A)}=\frac{15^2}{285}
=\frac{225}{285}
=\frac{15}{19}
\approx 0.789よって比較すると\(\mathrm{rank}\,A = 2 \ge \frac{15}{19}\)
結論
不等式 \(\mathrm{rank},A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}(A^*A)}\)はこの例でも成立している。
なお右辺はかなり小さい値になるため、この不等式は一般に「鋭い評価」ではなく、下からの弱い評価であることも確認できる。
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