[行列解析4.1.P13]

4.1.問題13
- 4.1.P13
行列解析の総本山

4.1.問題13

4.1.P13

\(A \in M_n\) が非零であるとする。

(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等号成立はある非零 \(a \in \mathbb{C}\) とエルミート射影 \(H\) が存在して \(A = aH\) のときに限ることを示せ。

(b) A が正規行列ならば、\(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}\) であることを説明せよ。

したがって、\(A\) がエルミートの場合には \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^2}\) が成り立つ。

行列解析の総本山

[行列解析]総本山

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。