4.1.P7
4.1.問題7
\(A, B \in M_n(F)\) が与えられ、\(n \ge 2\)、\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のとき、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x^{\top} Ax = 0\) であることと \(A^{\top} = -A\) であることは同値であることを示せ。
さらに、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x^{\top} Ax = x^{\top} Bx\) であっても \(A = B\) とは限らない例を示せ。
すなわち、実行列や複素行列は生成する二次形式によっては決定されない。
ヒント
恒等式 \( x^{\top} A x = 0 \) が任意の \(x\) に対して成り立つとき、特に標準基底ベクトルやその和を代入することで成分に関する関係式が得られる。これにより \( a_{ij} + a_{ji} = 0 \) を導き、\( A^{\top} = -A \) を示すことができる。また後半では、同じ二次形式を与えるが行列が一致しない具体例を構成する。
解答例
まず、\( x^{\top} A x = 0 \) が任意の \( x \in F^n \) に対して成り立つと仮定する。
x^T A x = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j = 0 \quad (\forall x)
ここで、標準基底ベクトル \( e_i \) を代入すると
e_i^{\top} A e_i = a_{ii} = 0
したがって、すべての対角成分は 0 である。次に \( x = e_i + e_j \)（\( i \ne j \)）を代入すると
0 = (e_i + e_j)^{\top} A (e_i + e_j)
= a_{ii} + a_{ij} + a_{ji} + a_{jj}
= a_{ij} + a_{ji}
よって \( a_{ij} + a_{ji} = 0 \)、すなわち \( a_{ji} = -a_{ij} \) が成り立つ。したがって \( A^{\top} = -A \) である。
逆に \( A^{\top} = -A \) のとき、
x^{\top} A x = (x^T A x)^{\top} = x^{\top} A^{\top} x = x^{\top} (-A) x = -x^{\top} A x
より \( x^{\top} A x = 0 \) が従う。よって両者は同値である。
次に、すべての \( x \) に対して \( x^{\top} A x = x^{\top} B x \) であっても \( A = B \) とは限らない例を示す。
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
B = 0
このとき \( A \) は歪対称であるから任意の \( x \) に対して \( x^{\top} A x = 0 \) が成り立つ。一方で \( x^{\top} B x = 0 \) も明らかに成り立つ。しかし \( A \ne B \) である。
したがって、二次形式 \( x^{\top} A x \) は行列 \( A \) を一意には決定しない。
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