[行列解析4.1.P8]二次形式の絶対値と行列の非一意性

4.1.P8

4.1.問題8

行列 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) を考え、すべての \(x \in \mathbb{C}^2\) について \(|x^*Ax| = |x^*A^{\top} x|\) であることを示せ。

これにより、生成するエルミート形式の絶対値によって行列は決定されないことがわかる。

与えられた行列 \( A \) に対して \( x^*Ax \) を具体的に計算し、その共役との関係を調べる。特に複素数の絶対値は共役を取っても変わらないこと、すなわち \( |z| = |\overline{z}| \) を用いるとよい。

\( A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \) とし、\( x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2 \) とおく。このとき

x^* A x = \begin{pmatrix} \overline{x_1} & \overline{x_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \overline{x_1}(x_1 + x_2) + \overline{x_2} x_2

したがって

x^* A x = |x_1|^2 + \overline{x_1}x_2 + |x_2|^2

同様に \( A^{\top} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} \) に対して

x^* A^{\top} x = \overline{x_1}x_1 + \overline{x_2}(x_1 + x_2) = |x_1|^2 + \overline{x_2}x_1 + |x_2|^2

ここで

x^* A^{\top} x = \overline{\,x^* A x\,}

が成り立つことに注意する。したがって複素数の性質より

|x^* A x| = |\overline{x^* A x}| = |x^* A^{\top} x|

が任意の \( x \in \mathbb{C}^2 \) に対して成り立つ。

しかしながら \( A \ne A^{\top} \) であるため、二次形式の絶対値 \( |x^*Ax| \) の情報だけでは行列 \( A \) を一意に決定することはできない。