4.1.P4
4.1.問題4
行列 \(A, B \in M_n\) に関するいくつかの性質(4.1.1) の1–11の次の主張を確認せよ。
ヒント
随伴の基本性質 \( (AB)^* = B^*A^* \)、\( (A^*)^* = A \) を用いるとよい。
また、エルミートとは \( A = A^* \)、歪エルミートとは \( A = -A^* \) であることを使い、各式の随伴をとって一致を確かめる。
解答例
(1) \( (A + A^*)^* = A + A^* \) よりエルミート。
さらに
(AA^*)^* = A^{**}A^* = AA^*, \quad (A^*A)^* = A^*A
よりいずれもエルミートである。
\begin{align}
(A + A^*)^*
&=A^*+(A^*)^* \notag \\
&=A^*+A \notag \\
&=A+A^*\notag
\end{align}\begin{align}
(A A^*)^*
&=(A^*)^*A^* \notag \\
&=AA^* \notag \\
\end{align}\begin{align}
(A^* A)^*
&=A^*(A^*)^* \notag \\
&=A^*A \notag \\
\end{align}(2) \( A = A^* \) ならば \( (A^k)^* = (A^*)^k = A^k \) よりエルミート。
また
(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}
より \( A^{-1} \) もエルミート。
\begin{align}
(A^k)^*&=(A^{k-1}A)^* =A^*(A^{k-1})^* \notag \\
&=A(A^{k-1})^* \notag \\
&=A(A^{k-1}) \notag \\
&=A^k \notag \\
\notag \\
(A^{-1})^* &=(A^*)^{-1} \notag \\
& =A^{-1} \notag
\end{align}(3) \( (aA + bB)^* = aA^* + bB^* = aA + bB \) よりエルミート。
(4) \( (A - A^*)^* = A^* - A = -(A - A^*) \) より歪エルミート。
(5) 同様に \( (aA + bB)^* = -aA - bB \) より歪エルミート。
(6) \( (iA)^* = -iA^* = -iA \) より歪エルミート。
(7) \( (iA)^* = -iA^* = -i(-A) = iA \) よりエルミート。
(8) 定義通り
H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*), \quad S(A) = \frac{1}{2}(A - A^*), \quad K(A) = \frac{1}{2i}(A - A^*)
より \( A = H(A) + S(A) = H(A) + iK(A) \)。
(9) \( a_{ii} = \overline{a_{ii}} \) より実数。非対角成分は \( a_{ij} = \overline{a_{ji}} \) により半分で決まる。
(10) \( A = C + iD \) とすると
A^* = C^{\top} - iD^{\top}
より \( A = A^* \) は \( C = C^{\top}, \; D = -D^{\top} \) と同値。
(11) 実対称行列は \( A^{\top} = A \) であり、複素共役しても変わらないので \( A^* = A \)。
以上よりすべての主張が確認できる。
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