[行列解析4.1.P2]エルミート性と合同・相似変換

4.1.P2

4.1.問題2

\(A \in M_n\) がエルミートで \(S \in M_n\) のとき、\(SAS^*\) がエルミートであることを示せ。

非特異な場合の \(SAS^{-1}\) はどうか？

エルミート行列の定義は \( A = A^* \) である。したがって、与えられた行列の共役転置を取り、元の行列と一致するかを確認すればよい。特に、\( (SAS^*)^* \) を計算するとよい。また、\( SAS^{-1} \) の場合には、一般にはエルミート性は保存されないことに注意する。

まず \( A \) がエルミートであるとする。すなわち \( A = A^* \) が成り立つ。このとき任意の \( S \in M_n \) に対して、\( SAS^* \) を考える。

その共役転置は

(SAS^*)^* = (S^*)^* A^* S^* = S A S^*

となる。ここで \( (S^*)^* = S \) および \( A^* = A \) を用いた。したがって \( (SAS^*)^* = SAS^* \) が成り立つので、\( SAS^* \) はエルミートである。

次に \( S \) が非特異であるとして、\( SAS^{-1} \) を考える。このとき

(SAS^{-1})^* = (S^{-1})^* A^* S^* = (S^*)^{-1} A S^*

となる。一般には \( (S^*)^{-1} A S^* \neq SAS^{-1} \) であるため、\( SAS^{-1} \) はエルミートとは限らない。

ただし、\( S \) がユニタリ行列、すなわち \( S^{-1} = S^* \) を満たす場合には、

SAS^{-1} = SAS^*

となるので、この場合にはエルミート性は保存される。