4.0.3
例 4.0.3. 次の二階線形偏微分作用素 \(L\) を考える：
(4.0.4)
L f(x) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
係数関数 \(a_{ij}\) と関数 \(f\) は同じ領域 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 上で定義されているものとし、\(f\) は \(D\) 上で二階連続微分可能であるとする。作用素 \(L\) は自然に行列 \(A(x) = [a_{ij}(x)]\) に関連付けられる。この行列は必ずしも対称である必要はないが、\(f\) の混合二階偏導関数が等しいことから、次が成り立つ：
L f = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \\
= \sum_{i,j=1}^{n} \frac{1}{2} \left(
a_{ij}(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} + a_{ji}(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}
\right)\\
= \sum_{i,j=1}^{n} \frac{1}{2} [a_{ij}(x) + a_{ji}(x)] \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}
したがって、対称行列 \(\frac{1}{2} (A(x) + A(x)^T)\) は、行列 \(A(x)\) と同じ作用素 \(L\) を生成する。したがって、形式 (4.0.4) の実または複素線形偏微分作用素を研究する際には、対称係数行列だけを考えれば十分である。
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