[行列解析3.3.P32]有理標準形と不変因子の構成

3.3.P32

3.3　問題32

\( A \in M_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。ジョルダン標準形におけるブロックの個数を \( N = w_1(A,\lambda_1)+\cdots+w_1(A,\lambda_d) \) とする。次の手順を繰り返すことで、すべてのブロックを消去できる（必ず有限回で終了する）。

(i) 各 \( k = 1, \ldots, d \) について、固有値 \(\lambda_k\) に対応するブロックがリストに残っていれば、その中で最大サイズのものを1つ取り除く。

(ii) 取り除かれた（高々 \( d \) 個の）ブロックの直和を \( J_j \) とし、その特性多項式を \( p_j(t) \) とする。さらに、\( C_j \) を \( p_j(t) \) の伴行列とする。

この構成について次を示しなさい。

(a) 各行列 \( J_j \) は nonderogatory（非退化：最小多項式と固有多項式が一致する）である。

(b) 各 \( J_j \) は \( C_j \) に相似である。

(c) \( A \) は \( F = C_1 \oplus \cdots \oplus C_r \) に相似である。

(d) \( p_1(t) \) は \( A \) の最小多項式であり、\( p_1(t)\cdots p_r(t) \) は \( A \) の特性多項式である。

(e) \( A \) が実行列であれば \( F \) も実行列である。

(f) 各 \( j = 1,\ldots,r-1 \) について、\( p_{j+1}(t) \) は \( p_j(t) \) を割り切る。

(g) \( F' = C'_1 \oplus \cdots \oplus C'_s \) が伴行列の直和であり、もし \( F' \) が \( A \) に相似であり、かつ各 \( j = 1,\ldots,s-1 \) について \( p_{C'_{j+1}}(t) \) が \( p_{C'_j}(t) \) を割り切るならば、\( F' = F \) である。

多項式 \( p_1(t), \ldots, p_r(t) \) を \( A \) の不変因子（invariant factors）と呼ぶ。ここでは \( A \) のジョルダン標準形（したがって固有値）を使って \( F \) を構成したが、実際には固有値を明示的に用いなくても \( A \) の不変因子を計算できる。すなわち、有限回の有理的な計算（加減乗除）だけで \( A \) の不変因子を決定できる。もし \( A \) が実行列であれば、計算に現れるのは実数のみである。より一般に、もし \( A \) の成分が体 \( F \) に属すれば、その計算は \( F \) の元だけを用いて行える。この行列 \( F \) を \( A \) の有理標準形（rational canonical form）という。

ヒント

ジョルダン標準形において各固有値ごとに最大サイズのブロックを順に取り除くと、それぞれの段階で得られる直和行列 \(J_j\) は各固有値について高々1つのブロックしか持たない。この性質から最小多項式と特性多項式が一致することに注目する。また、nonderogatory 行列は伴行列に相似であるという事実を用いるとよい。

解答例

(a) 各 \(J_j\) は、各固有値 \(\lambda_k\) に対して高々1つのジョルダンブロックしか持たない構成になっている。したがって、最小多項式は各固有値に対する最大ブロックのサイズで決まり、特性多項式と一致する。よって \(J_j\) は nonderogatory である。

(b) nonderogatory 行列は、その特性多項式を持つ伴行列に相似であることが知られている。したがって、各 \(J_j\) は \(p_j(t)\) の伴行列 \(C_j\) に相似である。

(c) 行列 \(A\) はジョルダン標準形に相似であり、そのジョルダン標準形は各段階で分解された \(J_1,\ldots,J_r\) の直和に一致する。各 \(J_j\) は \(C_j\) に相似であるから、

A \sim J_1 \oplus \cdots \oplus J_r \sim C_1 \oplus \cdots \oplus C_r

となり、\(A\) は \(F = C_1 \oplus \cdots \oplus C_r\) に相似である。

(d) 最初の段階で取り除かれるブロックは各固有値に対して最大サイズであるため、その直和 \(J_1\) の特性多項式 \(p_1(t)\) は \(A\) の最小多項式に一致する。また、全体として取り除いたブロックの直和は元のジョルダン標準形に一致するため、

p_1(t)\cdots p_r(t)

は \(A\) の特性多項式に一致する。

(e) \(A\) が実行列であれば、ジョルダン標準形において複素共役なブロックが対で現れる。したがって各 \(J_j\) の特性多項式は実係数を持つ。ゆえに伴行列 \(C_j\) も実係数行列となり、\(F\) も実行列である。

(f) 構成により、\(J_{j+1}\) は \(J_j\) から各固有値について1段階小さいブロックを集めたものになる。したがって、各固有値に対する指数は減少するか同じであり、結果として \(p_{j+1}(t)\) は \(p_j(t)\) を割り切る。

(g) 条件を満たす \(F' = C'_1 \oplus \cdots \oplus C'_s\) が存在するとする。このとき、各 \(p_{C'_j}(t)\) は整除関係を満たし、その積は特性多項式、最初のものは最小多項式に一致する。このような分解は不変因子分解の一意性より一意であるため、