3.3 問題20
3.3.P20
\( A, B \in M_n \) をコンパニオン行列 (3.3.12)、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。
(a) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるのは、\( x_\lambda = [1, \lambda, \lambda^2, \ldots, \lambda^{n-1}]^T \) が \( A^T \) の固有ベクトルであるとき、かつそのときに限ることを示せ。
(b) \(\lambda\) が \( A \) の固有値であるなら、\(\lambda\) に対応する \( A^T \) の固有ベクトルはすべて \( x_\lambda \) のスカラー倍であることを示せ。したがって、\( A \) の各固有値の幾何的重複度は 1 である。
(c) \( A^T \) と \( B^T \) が共通の固有ベクトルを持つのは、共通の固有値を持つとき、かつそのときに限ることを説明せよ。
(d) もし \( A \) が \( B \) と可換であるなら、\( A, B \) は共通の固有値を持たねばならないことを示せ。
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