[行列解析3.3.P10]コンパニオン行列の特性多項式の計算

3.3.P10

3.3　問題10

漸化式的計算により、

多項式 (3.3.11)

p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_1 t + a_0

がコンパニオン行列 (3.3.12) の特性多項式であることを直接計算で示せ。

(3.3.12)

A = \begin{bmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & -a_1 \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & & & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix} \in M_n

特性多項式は \( \det(tI - A) \) により与えられる。行列 \( tI - A \) はほとんど三角行列に近い形をしているため、余因子展開や帰納的な計算により行列式を求めることができる。特に最下行または第1列に注目して展開すると計算が整理しやすい。

行列 \( A \) に対して特性多項式を求めるため、\( tI - A \) を計算する。

tI - A = \begin{bmatrix} t & 0 & \cdots & 0 & a_0 \\ -1 & t & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & -1 & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & t & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & t + a_{n-1} \end{bmatrix}

この行列の行列式を第1列について展開する。すると、

\det(tI - A) = t \cdot D_{n-1} + 1 \cdot D_{n-2}

ここで \( D_k \) は同様の形をした \( k \times k \) 行列の行列式を表す。この構造から、次の漸化式が得られる。

D_k = t D_{k-1} + a_{n-k}

初期条件 \( D_1 = t + a_{n-1} \) を用いてこの漸化式を解くと、最終的に

\det(tI - A) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0

となる。したがって、多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) はコンパニオン行列 \( A \) の特性多項式であることが示された。