3.2.P36
3.2問題36
\( A \in M_n \) が coninvolutory(コンインボリューショナリー)、すなわち \( A \) が非特異で \( A = \overline{A}^{-1} \) を満たすとする。
(a) このとき \( A \) のジョルダン標準形は、\(\theta \in [0,2\pi)\) に対して \( J_k(e^{i\theta}) \) の形のブロック、あるいは \( | \lambda | \neq 0, | \lambda | \neq 1 \) のときの \( J_k(\lambda) \oplus J_k(1/\overline{\lambda}) \) の形のブロックの直和であることを説明せよ。
(b) もし \( A \) が対角化可能なら、そのジョルダン標準形は、\(\theta_1, \ldots, \theta_n \in [0,2\pi)\) に対する \([e^{i\theta}]\) の形のブロック、または \( | \lambda | \neq 0, | \lambda | \neq 1 \) に対する \([ \lambda ] \oplus [1/\overline{\lambda}]\) の形のブロックの直和であることを説明せよ。
ヒント
行列 \( A \) が coninvolutory であるとは \( A=\overline{A}^{-1} \) を満たすことである。両辺に \( \overline{A} \) を掛けると \( A\overline{A}=I \) が従う。
固有値 \( \lambda \) をもつ固有ベクトルを考えると、この関係から固有値には \( \lambda \) と \( 1/\overline{\lambda} \) が対応して現れることが分かる。特に \( |\lambda|=1 \) のときは \( \lambda = 1/\overline{\lambda} \) となる。
この性質をジョルダン標準形に適用すると、固有値が単位円上にある場合と、単位円外にある場合でブロックの形が決まる。
解答例
\( A \in M_n \) が coninvolutory であるとする。すなわち \( A=\overline{A}^{-1} \) が成り立つ。
両辺に \( \overline{A} \) を掛けると
A\overline{A}=I
が得られる。
(a) まず \( \lambda \) を \( A \) の固有値とする。すなわちある非零ベクトル \( x \) が存在して \( Ax=\lambda x \) が成り立つ。
両辺の複素共役を取ると
\overline{A}\,\overline{x}=\overline{\lambda}\,\overline{x}
となる。ここで \( A\overline{A}=I \) を用いると
A(\overline{A}\,\overline{x})=\overline{x}
が成り立つ。上式に先ほどの関係を代入すると
A(\overline{\lambda}\,\overline{x})=\overline{x}
すなわち
A\overline{x}=\frac{1}{\overline{\lambda}}\overline{x}
が従う。したがって \( 1/\overline{\lambda} \) も \( A \) の固有値である。
もし \( |\lambda|=1 \) なら \( \lambda=1/\overline{\lambda} \) であるため、固有値は単位円上にあり \( \lambda=e^{i\theta} \) と書ける。この場合ジョルダンブロックは
J_k(e^{i\theta})
の形になる。
一方 \( |\lambda|\neq 1 \) の場合は \( \lambda \neq 1/\overline{\lambda} \) であり、固有値は対 \( \lambda,\,1/\overline{\lambda} \) として現れる。このときジョルダン標準形には
J_k(\lambda)\oplus J_k(1/\overline{\lambda})
の形のブロックが現れる。
したがって \( A \) のジョルダン標準形は、単位円上の固有値に対するブロック \( J_k(e^{i\theta}) \) と、単位円外の固有値に対する対ブロック \( J_k(\lambda)\oplus J_k(1/\overline{\lambda}) \) の直和で表される。
(b) もし \( A \) が対角化可能ならば、すべてのジョルダンブロックの大きさは 1 になる。
したがってジョルダン標準形は対角行列となり、(a) の結果から固有値は \( e^{i\theta} \) または \( \lambda,\,1/\overline{\lambda} \) の対として現れる。
したがってジョルダン標準形は
[e^{i\theta_1}] \oplus \cdots \oplus [e^{i\theta_n}]
あるいは
[\lambda]\oplus [1/\overline{\lambda}]
のようなブロックの直和で表される。
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