3.2.P30
3.2問題30
\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。
次の証明の概要に詳細を補い、\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S \) が \( B \) の零空間であることが同値であることを示せ。
十分性:
\( B(AS) = A(BS) = A\{0\} = \{0\} \) より \( AS \subset S \)。
必要性：
(a) \( S = \{0\} \) または \(\mathbb{C}^n\) ならば、\( B = I \) または \( B = 0 \) とすればよい。したがって \( 1 \leq \dim S \leq n-1 \) と仮定できる。
(b) \( A \) に相似な行列に対して示せば十分である（理由を示せ）、したがって
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}, \quad A_{11} \in M_k
と仮定できる (1.3.17 を参照)。
(c) 非特異行列 \( X \in M_n \) が存在して \( AX = XA^T \) が成り立つ (3.2.3.1 を参照)。
(d) 非特異行列 \( Y \in M_{n-k} \) が存在して \( YA_{22} = A_{22}^T Y \) が成り立つ。ここで \( C = 0_k \oplus Y \) とおく。
(e) このとき \( CA = A^T C \)。
(f) \( B = XC \) とすると、\( AB = AXC = XA^T C = XCA = BA \) が成り立つ。
ヒント
示すべきことは、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が行列 \( A \) の不変部分空間であることと、ある行列 \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S = \ker B \) となることが同値であるという主張である。
まず \( S = \ker B \) かつ \( AB = BA \) ならば、\( s \in S \) に対して \( B(As) = A(Bs) = 0 \) となるので \( As \in S \) が従い、\( S \) は \( A \) の不変部分空間となる。
逆に \( S \) が \( A \) の不変部分空間であるとき、適当な基底を選ぶと \( A \) は上三角ブロック行列 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \) の形になる。この形を利用して、転置と可換な行列の存在定理を使い、\( AB = BA \) を満たす行列 \( B \) を構成する。
解答例
まず \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S = \ker B \) であると仮定する。
このとき任意の \( s \in S \) に対して \( Bs = 0 \) であるから \( B(As) = A(Bs) = 0 \) が成り立つ。したがって \( As \in \ker B = S \) であり、\( S \) は \( A \) の不変部分空間である。
逆に \( S \) が \( A \) の不変部分空間であると仮定する。以下では \( AB = BA \) を満たし \( \ker B = S \) となる行列 \( B \) を構成する。
(a) もし \( S=\{0\} \) ならば \( B=I \) とすればよく、また \( S=\mathbb{C}^n \) ならば \( B=0 \) とすればよい。したがって \( 1 \le \dim S \le n-1 \) と仮定してよい。
(b) \( S \) が \( A \) の不変部分空間であるとき、適当な基底を取れば \( S \) の基底を最初に並べることができる。この基底に関する行列表現では \( A \) は次の形になる。
A=
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
0 & A_{22}
\end{pmatrix},
\quad A_{11}\in M_k
ここで \( k=\dim S \) である。なお、もし \( A' = P^{-1}AP \) に対して命題が成り立つならば、\( B' \) が \( A'B' = B'A' \) を満たすとき \( B = PB'P^{-1} \) とすれば \( AB = BA \) が成り立つので、相似変換して示しても一般性を失わない。
(c) 一般に任意の行列 \( A \) に対して、ある非特異行列 \( X \) が存在して
AX = XA^{\top}
が成り立つ。
(d) 同様に \( A_{22} \in M_{n-k} \) に対しても、ある非特異行列 \( Y \in M_{n-k} \) が存在して
YA_{22} = A_{22}^{\top}Y
が成り立つ。ここで \( C = 0_k \oplus Y \) と定める。
C=
\begin{pmatrix}
0_k & 0\\
0 & Y
\end{pmatrix}
(e) このときブロック計算により
CA = A^{\top}C
が成り立つ。
(f) ここで \( B = XC \) と定めると、
AB = AXC = XA^{\top}C = XCA = BA
となり \( AB = BA \) が従う。また \( C \) の零空間は最初の \( k \) 成分が自由で後半が 0 となるベクトル全体であり、これはちょうど \( S \) に対応する。したがって \( \ker B = S \) が成立する。
以上より、\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \) が存在して \( AB=BA \) かつ \( S=\ker B \) となることは同値である。
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