[行列解析3.2.P17]

3.2問題17

3.2.P17

\(A\in M_n\) とする。次を示せ：\(\mathrm{rank}\,A=\mathrm{rank}\,A^2\) であることは、固有値 \(\lambda=0\) の幾何的重複度と代数的重複度が等しいこと（すなわちジョルダン標準形中の \(\lambda=0\) に対応するジョルダンブロックがすべて \(1\times1\) であること）と同値である。また、\(A\) が対角化可能であることは、すべての \(\lambda\in\sigma(A)\) について \(\mathrm{rank}(A-\lambda I)=\mathrm{rank}(A-\lambda I)^2\) が成り立つことと同値であることを説明せよ。