3.2.P18
3.2問題18
\(A\in M_n\) とする。3.2.7 で述べたジョルダン分解 \(A=A_D+A_N\)（\(A_D\) は対角化可能成分、\(A_N\) は冪零成分、かつ互いに可換）は一意であることを示せ。
すなわち、もし
- (a) \(A=B+C\)、
- (b) \(B\) と \(C\) が可換、
- (c) \(B\) は対角化可能、
- (d) \(C\) は冪零
を満たすならば \(B=A_D\) かつ \(C=A_N\) であることを示せ。
ヒント
\(A_D=p(A),\;A_N=q(A)\) となる多項式 \(p,q\) が存在することを利用せよ。
次の点の詳細を示せ：
(a) \(B,C\) は \(A\) と可換する；
(b) \(B,C\) は \(A_D,A_N\) と可換する；
(c) \(B\) と \(A_D\) は同時対角化可能で、ゆえに \(A_D-B\) は対角化可能；
(d) \(C\) と \(A_N\) は同時上三角化可能で、ゆえに \(C-A_N\) は冪零；
(e) \(A_D-B=C-A_N\) は同時に対角化可能かつ冪零なので零行列である。
ジョルダン分解では \(A=A_D+A_N\) と書け、\(A_D\) は対角化可能、\(A_N\) は冪零であり、さらに \(A_DA_N=A_NA_D\) が成り立つ。既知の結果として、ある多項式 \(p,q\) が存在して \(A_D=p(A)\)、\(A_N=q(A)\) と表せる。
仮に別の分解 \(A=B+C\) があり、\(B\) が対角化可能、\(C\) が冪零で、さらに \(BC=CB\) が成り立つとする。このとき \(B,C\) は \(A\) と可換することを示し、それを用いて \(A_D,A_N\) とも可換することを導く。
その後、\(B\) と \(A_D\) は同時対角化可能であること、\(C\) と \(A_N\) は同時上三角化可能であることを利用する。すると \(A_D-B\) は対角化可能であり、同時に \(C-A_N\) は冪零である。両者は等しいため、対角化可能かつ冪零な行列は零行列しかないことから結論が従う。
解答例
ジョルダン分解により \(A=A_D+A_N\) と書ける。ただし \(A_D\) は対角化可能、\(A_N\) は冪零であり、さらに \(A_DA_N=A_NA_D\) が成り立つ。また既知の結果として多項式 \(p,q\) が存在して \(A_D=p(A),\;A_N=q(A)\) と表せる。
いま別の分解 \(A=B+C\) が存在し、次を満たすとする。
(a) \(BC=CB\)、 (b) \(B\) は対角化可能、 (c) \(C\) は冪零。
まず (a) を示す。 \(A=B+C\) と \(BC=CB\) より
AB = (B+C)B = B^2+CB
BA = B(B+C) = B^2+BC
であり \(BC=CB\) から
AB=BA
が従う。同様に \(AC=CA\) も成り立つ。したがって \(B,C\) は \(A\) と可換する。
次に (b) を示す。 \(A_D=p(A)\)、\(A_N=q(A)\) は \(A\) の多項式であるため、\(A\) と可換な行列はそれらとも可換する。よって
BA_D=A_DB,\quad CA_D=A_DC
BA_N=A_NB,\quad CA_N=A_NC
が成り立つ。
次に (c) を示す。 \(B\) と \(A_D\) はともに対角化可能であり、さらに互いに可換するので同時対角化可能である。したがって差
A_D-B
も対角化可能である。
次に (d) を示す。 \(C\) と \(A_N\) はともに冪零であり互いに可換するため、同時上三角化可能である。したがって差
C-A_N
は上三角行列で対角成分がすべて 0 となるので冪零である。
最後に (e) を示す。 \(A=B+C\) と \(A=A_D+A_N\) を比較すると
A_D-B=C-A_N
が成り立つ。
左辺は対角化可能であり、右辺は冪零である。したがってこの行列は同時に対角化可能かつ冪零である。
対角化可能な冪零行列は固有値がすべて 0 であり、対角化すると零対角行列になるので零行列である。よって
A_D-B=0
C-A_N=0
が従う。
したがって \(B=A_D\)、\(C=A_N\) であり、ジョルダン分解 \(A=A_D+A_N\) は一意である。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント