[行列解析8.7.P10]2×2二重確率行列の構造に関する証明

(8.7.P10)

問題

2×2 の二重確率行列は対称であり、対角要素が等しいことを示せ。

\( 2 \times 2 \) の行列 \( A \) が二重確率行列であるための条件を考察する。

一般の \( 2 \times 2 \) 行列を

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

とする。\( A \) が二重確率行列であるための条件は以下の通りである。

式 (1) と式 (3) を用いる。
式 (1) より \( b = 1 - a \) である。
式 (3) より \( c = 1 - a \) である。
これらを式 (4) に代入すると、

(1 - a) + d = 1

となり、整理すると \( d = a \) が得られる。

したがって、対角要素は \( a = d \) であり、等しいことが示された。

行列 \( A \) が対称であるとは、\( A_{ij} = A_{ji} \)、すなわち \( b = c \) が成り立つことである。

上記 2. で得られた結果 \( b = 1 - a \) と \( c = 1 - a \) より、直ちに \( b = c \) が成り立つ。

したがって、\( 2 \times 2 \) の二重確率行列 \( A \) は、

A = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}

という一般形で表され、これは対称行列であり、対角要素が等しいことが示された。

なお、非負性の条件から \( 0 \le a \le 1 \) でなければならない。