[行列解析8.3.3]系：非負行列のスペクトル半径の「min–max」表現

8.3.3 系：非負行列のスペクトル半径の「min–max」表現
- 証明
- 演習
行列解析の総本山

8.3.3 系：非負行列のスペクトル半径の「min–max」表現

もし \( A \in M_n \) が非負行列であるならば、次が成り立つ：

\rho(A) = \max_{x \ge 0,\, x \ne 0} \, \min_{1 \le i \le n,\, x_i \ne 0} \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j

証明

\( x \) を任意の非零非負ベクトルとし、次を定める：

\alpha = \min_{x_i \ne 0} \frac{\sum_{j} a_{ij} x_j}{x_i}

このとき \( Ax \ge \alpha x \) が成り立つ。したがって、前の定理（定理 8.3.2）より \( \rho(A) \ge \alpha \) が従う。ゆえに

\rho(A) \ge \max_{x \ge 0,\, x \ne 0} \min_{1 \le i \le n,\, x_i \ne 0} \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j

ここで式 (8.3.1) を用いれば、非零非負ベクトル \( x \) が存在して \( Ax = \rho(A)x \) となる。したがって、\(\alpha = \rho(A)\) とおくことで上式の等号が成立することがわかる。

演習

次の行列とベクトルを考える：

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

非負ベクトル \( x \) が正の成分をもたない場合、命題 (8.1.29) における「\( Ax \ge \alpha x \Rightarrow \rho(A) \ge \alpha \)」という含意が必ずしも成り立たない理由を説明せよ。また、(8.1.32) の「min–max」表現が非負行列に対して必ずしも正しくないことを示せ。

上の演習に示された行列 \( A \) は、正の左固有ベクトルも右固有ベクトルももたない。しかし、正の左または右固有ベクトルをもつ非負行列は、いくつかの特別な性質をもつ。