[行列解析8.3.2]定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界

8.3.2 定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界

定理 8.3.2　\( A \in M_n \) を非負行列とし、\( x \in \mathbb{R}^n \) を非負で零でないベクトルとする。もし \( \alpha \in \mathbb{R} \) が次を満たすならば：

A x \ge \alpha x

このとき、次が成り立つ：

\rho(A) \ge \alpha

\( A = [a_{ij}] \) とし、任意の \( \varepsilon \gt 0 \) に対して次を定義する：

A(\varepsilon) = A + \varepsilon J_n \gt 0

ここで \( J_n \) はすべての成分が 1 の \( n \times n \) 行列である。したがって、\( A(\varepsilon) \) は正の行列であり、左ペロンベクトル \( y(\varepsilon) \gt 0 \) が存在して次を満たす：

y(\varepsilon)^{T} A(\varepsilon) = \rho(A(\varepsilon)) \, y(\varepsilon)^{T}

仮定より \( A x - \alpha x \ge 0 \) なので、次が成り立つ：

A(\varepsilon)x - \alpha x = (A + \varepsilon J_n)x - \alpha x = (A x - \alpha x) + \varepsilon J_n x \gt 0

よって、

y(\varepsilon)^{T} (A(\varepsilon)x - \alpha x) = (\rho(A(\varepsilon)) - \alpha) \, y(\varepsilon)^{T} x \gt 0

ここで \( y(\varepsilon)^{T} x \gt 0 \) であるから、すべての \( \varepsilon \gt 0 \) に対して

\rho(A(\varepsilon)) - \alpha \gt 0

が成り立つ。さらに \(\varepsilon \to 0\) のとき \(\rho(A(\varepsilon)) \to \rho(A)\) なので、次が結論として得られる：

\rho(A) \ge \alpha