8.3.1 定理：非負行列のペロン固有値と固有ベクトルの存在
定理 8.3.1
もし \( A \in M_n \) が非負行列であるならば、\( \rho(A) \) は \( A \) の固有値であり、次を満たす非負で零でないベクトル \( x \) が存在する：
A x = \rho(A) x
証明
任意の \( \varepsilon \gt 0 \) に対して、次のように定義する：
A(\varepsilon) = A + \varepsilon J_n
ここで \( J_n \) は全ての成分が 1 の \( n \times n \) 行列である。また、\( A(\varepsilon) \) のペロンベクトルを \( x(\varepsilon) = [x_i(\varepsilon)] \) とする。このとき、\( x(\varepsilon) \gt 0 \) かつ
\sum_{i=1}^n x_i(\varepsilon) = 1
が成り立つ。ベクトルの集合 \(\{x(\varepsilon) : \varepsilon \gt 0\}\) は、コンパクト集合 \(\{x : x \in \mathbb{C}^n, \|x\|_1 \le 1\}\) に含まれる。したがって、単調減少列 \(\varepsilon_1 \ge \varepsilon_2 \ge \cdots\) で \(\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k = 0\) となるものが存在し、極限
x = \lim_{k \to \infty} x(\varepsilon_k)
が存在する。各 \( k \) に対して \( x(\varepsilon_k) \gt 0 \) かつ \(\|x(\varepsilon_k)\|_1 = 1\) なので、極限ベクトル \( x = \lim_{k \to \infty} x(\varepsilon_k) \) は非負かつ零でない（実際、\(\|x\|_1 = 1\) である）。
定理 8.1.18 により、すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対して
\rho(A(\varepsilon_k)) \ge \rho(A(\varepsilon_{k+1})) \ge \cdots \ge \rho(A)
が成り立つ。したがって、極限値
\rho = \lim_{k \to \infty} \rho(A(\varepsilon_k))
が存在し、さらに \(\rho \ge \rho(A)\) が成り立つ。
一方で \( x \ne 0 \) であり、
A x = \lim_{k \to \infty} A(\varepsilon_k) x(\varepsilon_k)
= \lim_{k \to \infty} \rho(A(\varepsilon_k)) x(\varepsilon_k)
= \rho \, x
が成り立つ。したがって、\(\rho\) は \(A\) の固有値である。これにより \(\rho \le \rho(A)\) となるので、結論として \(\rho = \rho(A)\) が成り立つ。□
なお、スペクトル半径の変分的特徴づけ（式 (8.1.32)）の「max–min」部分は、非負行列および非負ベクトルに対して一般化することができる。その導入として、非負行列および非負ベクトルに対しても成立する (8.1.29) の一部を次に示す。
行列解析の総本山
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