[行列解析8.1.P7]

8.1.問題7

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列、\( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) を正のベクトルとする。

(a)

式 (8.1.27) は次のように書き換えられることを説明せよ。

\min_{1 \le i \le n} \frac{(Ax)_i}{x_i} \le \rho(A) \le \max_{1 \le i \le n} \frac{(Ax)_i}{x_i}

(b)

式 (8.1.29) において、\( x = e \)（すべての成分が1のベクトル）とした場合、(8.1.23) の評価式が得られることを示せ。

(c)

もし \( A \) の各行の和が \( R_i = (Ae)_i \)（\( i = 1, \ldots, n \)）として正であるならば、\( x = Ae \) と置いたときに (8.1.29) から次のような改良された評価が得られることを示せ。

\min_{1 \le i \le n} R_i \le \min_{1 \le i \le n} \frac{1}{R_i} \sum_{j=1}^n a_{ij} R_j \le \rho(A) \le \max_{1 \le i \le n} \frac{1}{R_i} \sum_{j=1}^n a_{ij} R_j \le \max_{1 \le i \le n} R_i