8.1.問題10
8.1.P10
次のような分割をもつ行列
A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_n
を考える。ただし各ブロック \( A_{ij} \in M_{n_i, n_j} \) であり、\( n_1 + \cdots + n_k = n \) であるとする。すべての \( M_{n_i, n_j} \) において定義されたベクトルノルム \( G(\cdot) \) が、すべての \( \mathbb{C}^{n_i} \) 上の与えられたノルム \( \|\cdot\| \)（5.7.12）と両立しているとする。さらに次を定義する：
\mathcal{A} = [G(A_{ij})] \in M_k
(a) 次を示せ。
\rho(\mathcal{A}) \le \rho(A)
(b) 不等式 \( \rho(\mathcal{A}) \le \rho(A) \) が成り立つようなベクトルノルム \( G(\cdot) \) の例をいくつか挙げ、その理由を説明せよ。
(c) (5.6.9(a)) および (8.1.18) が (a) の特別な場合であることを説明せよ。その際、それぞれの状況での分割、\( G(\cdot) \)、および \( \|\cdot\| \) を明示せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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