[行列解析8.1.8]命題：行列とベクトルの絶対値に関する基本性質

8.1.8命題
行列解析の総本山

8.1.8命題

命題 8.1.8

\( A = [a_{ij}] \in M_n \)、\( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) とする。

(a) \( |Ax| \le |A|\,|x| \)。

(b) \(A\) が非負で、少なくとも1つの正の行をもつとする。もし \( |Ax| = A|x| \) が成り立つならば、ある実数 \( \theta \in [0, 2\pi) \) が存在して、\( e^{-i\theta}x = |x| \) が成り立つ。

証明

(a) この主張は三角不等式から従う：

|(Ax)_k| = \left|\sum_j a_{kj}x_j \right| \le \sum_j |a_{kj}x_j| = \sum_j |a_{kj}|\,|x_j| = (|A|\,|x|)_k

(b) 仮定より \( A \ge 0 \)、かつある行 \((a_{k1}, \dots, a_{kn})\) の成分がすべて正であり、\( |Ax| = A|x| \) が成り立つ。したがって、

|(Ax)_k| = \left|\sum_j a_{kj}x_j\right| = \sum_j a_{kj}|x_j| = (A|x|)_k

これは三角不等式における等号成立のケースである（式 (8.1.8.1) を参照）。したがって、ある実数 \( \theta \) が存在して、すべての \( j \) に対して \( e^{-i\theta}a_{kj}x_j = a_{kj}|x_j| \) が成り立つ。各 \( a_{kj} \) が正であるため、\( e^{-i\theta}x_j = |x_j| \) がすべての \( j \) について成り立つ。よって \( e^{-i\theta}x = |x| \) である。

|A|x = \Re(|A|x) = \Re(Ax) = (\Re A)x

したがって \((|A| - \Re A)x = 0\) である。ここで \( |A| - \Re A \ge 0 \) かつ \( x > 0 \) であるため、(8.1.1) より \( |A| = \Re A \) が成り立つ。よって \( A = |A| \ge 0 \)。

演習.

\( A, B, C, D \in M_n \)、\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、および \( m \in \{1, 2, \dots\} \) とする。次を示せ。

(8.1.9) \( |AB| \le |A|\,|B| \)
(8.1.10) \( |A^m| \le |A|^m \)
(8.1.11) \( 0 \le A \le B \) かつ \( 0 \le C \le D \) ならば \( 0 \le AC \le BD \)
(8.1.12) \( 0 \le A \le B \) ならば \( 0 \le A^m \le B^m \)
(8.1.13) \( A \ge 0 \) ならば \( A^m \ge 0 \)；\( A > 0 \) ならば \( A^m > 0 \)
(8.1.14) \( A > 0, x \ge 0, x \ne 0 \) ならば \( Ax > 0 \)
(8.1.15) \( A \ge 0, x > 0, Ax = 0 \) ならば \( A = 0 \)
(8.1.16) \( |A| \le |B| \) ならば \( \|A\|_2 \le \|B\|_2 \)
(8.1.17) \( \|A\|_2 = \||A|\|_2 \)

もちろん、(8.1.16)–(8.1.17) の主張はフロベニウスノルムに限らず、任意の絶対値ベクトルノルムに対して成り立つ。これらの事実の最初の応用は、スペクトル半径に関する次の不等式である。