8.1.33 系：非負行列のべき乗とスペクトル半径の関係
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列とし、\( A^m = [a^{(m)}_{ij}] \) とする。
もし \( A \) が正の固有ベクトル \( x = [x_i] \) をもつならば、すべての \( m = 1, 2, \ldots \) および \( i = 1, \ldots, n \) に対して次が成り立つ。
3.1.34a
\sum_{j=1}^{n} a^{(m)}_{ij}
\le
\left(
\frac{\max_{1 \le k \le n} x_k}{\min_{1 \le k \le n} x_k}
\right)
\rho(A)^m
3.1.34b
\left(
\frac{\min_{1 \le k \le n} x_k}{\max_{1 \le k \le n} x_k}
\right)
\rho(A)^m
\le
\sum_{j=1}^{n} a^{(m)}_{ij}
さらに、もし \( \rho(A) \gt 0 \) ならば、行列 \( [\rho(A)^{-1}A]^m \) の成分は \( m = 1, 2, \ldots \) に対して一様に有界である。
証明
\( x = [x_i] \) を \( A \) の正の固有ベクトルとする。このとき (8.1.30) より \( Ax = \rho(A)x \) であるから、各 \( m = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^m x = \rho(A)^m x \) が成り立つ。 また \( A^m \ge 0 \) なので、任意の \( i = 1, \ldots, n \) に対して次が成立する。
\rho(A)^m \max_{1 \le k \le n} x_k
\ge
\rho(A^m) x_i
= (A^m x)_i
= \sum_{j=1}^{n} a^{(m)}_{ij} x_j
\ge
\left( \min_{1 \le k \le n} x_k \right)
\sum_{j=1}^{n} a^{(m)}_{ij}
ここで \( \min_{1 \le k \le n} x_k \gt 0 \) なので、上の式を変形すると次が得られる。
\sum_{j=1}^{n} a^{(m)}_{ij}
\le
\frac{\max_{1 \le k \le n} x_k}{\min_{1 \le k \le n} x_k}
\rho(A)^m
同様の議論により、下限の不等式も得られる。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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