[行列解析8.1.30]系：正の固有ベクトルをもつ非負行列の固有値とスペクトル半径

8.1.30 系：正の固有ベクトルをもつ非負行列の固有値とスペクトル半径

\( A \in M_n \) を非負行列とする。もし \( x \) が \( A \) の正の固有ベクトルであるならば、 \( \rho(A), x \) は \( A \) の固有値・固有ベクトルの組である。

すなわち、もし \( A \ge 0, \, x \gt 0 \) かつ \( Ax = \lambda x \) であるならば、その固有値は \( \lambda = \rho(A) \) である。

もし \( x \gt 0 \) かつ \( Ax = \lambda x \) であるならば、\( \lambda \ge 0 \) であり、

\lambda x \le Ax \le \lambda x

が成り立つ。このとき、系 8.1.29 より \( \lambda \le \rho(A) \le \lambda \) が従う。

したがって \( \lambda = \rho(A) \) である。