[行列解析8.1.29]系：非負行列に対するスペクトル半径の評価

8.1.29　系：非負行列に対するスペクトル半径の評価

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列とし、\( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) を正のベクトルとする。

もし定数 \( \alpha, \beta \ge 0 \) が存在して \( \alpha x \le Ax \le \beta x \) を満たすならば、

\alpha \le \rho(A) \le \beta

が成り立つ。

さらに、もし \( \alpha x \lt Ax \) であれば \( \alpha \lt \rho(A) \) であり、もし \( Ax \lt \beta x \) であれば \( \rho(A) \lt \beta \) である。

まず \( \alpha x \le Ax \) であると仮定する。このとき、各成分について \( \alpha x_i \le (Ax)_i \) が成り立つので、

\alpha \le \min_{1 \le i \le n} \frac{1}{x_i} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j

である。したがって、前の定理（定理 8.1.26）より \( \alpha \le \rho(A) \) が従う。次に \( \alpha x \lt Ax \) の場合を考える。

このとき、ある \( \alpha' \gt \alpha \) が存在して \( \alpha x \lt \alpha' x \le Ax \) が成り立つ。

したがって \( \rho(A) \ge \alpha' \gt \alpha \) である。上側の評価も同様の議論により示される。