[行列解析7.7.P41]

7.7.問題41
- 7.7.P41
行列解析の総本山

7.7.問題41

7.7.P41

(前問の続き) \(H_1 = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ B_1^* & C_1 \end{pmatrix}, H_2 = \begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ B_2^* & C_2 \end{pmatrix} \in M_{p+q}\) が半正定値であり、\(A_1, A_2 \in M_p\) は正定値であるとする。

シュール補行列の変分的特徴付け (7.7.20) を用いて次を示す。

(a) シュール補行列の単調性：\(H_1 \succeq H_2\) ならば \(S_{H_1}(A_1) \succeq S_{H_2}(A_2)\)。

(b) シュール補行列の凹性：\(S_{H_1 + H_2}(A_1 + A_2) \succeq S_{H_1}(A_1) + S_{H_2}(A_2)\)。

H_1 \circ H_2 \succeq \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \end{pmatrix} \circ H_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \circ C_2 \end{pmatrix} \\\succeq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \circ S_{H_2}(A_2) \end{pmatrix}

したがって

S_{H_1 \circ H_2}(A_1 \circ A_2) \succeq S_{H_1}(A_1) \circ C_2 \succeq S_{H_1}(A_1) \circ S_{H_2}(A_2)

行列解析の総本山

[行列解析]総本山

行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。