[行列解析7.7.P16]

7.7.問題16

\(A \in M_n\) が半正定値、\(B \in M_n\) が対称行列のとき、次の条件が同値であることを示せ。

(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\)。

(b) 任意の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x + y^* A y \ge 2 |x^T B y|\)。

(d)

H = \begin{pmatrix} \bar{A} & B \\ \bar{B} & A \end{pmatrix}

が半正定値である。

(e) \(B = \bar{A}^{1/2} X A^{1/2}\) を満たす対称収縮行列 \(X \in M_n\) が存在する。また、A が正定値の場合、次の条件も (c) と同値である。

(f) \(\rho(\bar{B} \bar{A}^{-1} B A) \le 1\)。

(g) \(\sigma_1(\bar{A}^{-1/2} B A^{-1/2}) \le 1\)。