7.7.6 補題：行列の収縮性と半正定値性の関係
この補題では、行列 \(X \in M_{p,q}\) によって構成されるブロック行列が、正定値または半正定値であるための条件を示す。特に、行列の「収縮（contraction）」および「厳密な収縮（strict contraction）」との関係を明らかにする。
補題 7.7.6
\(X \in M_{p,q}\) とし、次のようなブロック行列 \(K\) を定める：
K = \begin{bmatrix}
I_p & X \\
X^{*} & I_q
\end{bmatrix}
\in M_{p+q}.
このとき、次が成り立つ。
(a) \(K\) が正定値であるのは、\(X\) が厳密な収縮（すなわち、\(\sigma_1(X) \lt 1\)）であるとき、かつそのときに限る。
(b) \(K\) が半正定値であるのは、\(X\) が収縮（すなわち、\(\sigma_1(X) \le 1\)）であるとき、かつそのときに限る。
証明
恒等式 (7.7.5) および (7.7.2(d)) より、
\begin{bmatrix}
I_p & X \\
X^{*} & I_q
\end{bmatrix}
\succeq 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
I_q - X^{*}X \succeq 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
\sigma_1(X) \lt 1
である。したがって、(a) の主張が示される。(b) の主張も同様の議論により従う。
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2025.08.05
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