[行列解析7.4.P3]

7.4.問題3
- 7.4.P3
行列解析の総本山

7.4.問題3

7.4.P3

グリューブ＝ラインボルト不等式

次に、2つの行列に対する (7.4.12.1) の一般化を示す。\( B, C \in M_n \) が可換な正定値行列であり、それぞれの固有値が \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \)、および \( 0 \lt \mu_1 \le \cdots \le \mu_n \) であるとする。このとき、グリューブ＝ラインボルト不等式は次を主張する。

(7.4.12.11)

(x^* B^2 x)(x^* C^2 x) \le \frac{(\lambda_1 \mu_1 + \lambda_n \mu_n)^2}{4 \lambda_1 \lambda_n \mu_1 \mu_n} (x^* B C x)^2, \quad \forall x \in \mathbb{C}^n

同値な形として、次の式も成り立つ。

(7.4.12.12)

\frac{ \langle Bx, Cx \rangle }{ \|Bx\| \, \|Cx\| } \ge \frac{ 2 \sqrt{ \lambda_1 \lambda_n \mu_1 \mu_n } }{ \lambda_1 \mu_1 + \lambda_n \mu_n }, \quad \forall x \ne 0, \, x \in \mathbb{C}^n

ただし、カントロヴィッチ不等式とは異なり、\( B \) も \( C \) もスカラー行列でない場合、この不等式が等号となる単位ベクトル \( x \) は必ずしも存在しない。

(a) 式 (7.4.12.11) を証明せよ。
(b) \( B \) または \( C \) のいずれか一方がスカラー行列である場合、(7.4.12.12) において等号が成立することを示せ。
(c) 可換な正定値行列 \( B \) および \( C \) のどのような選択で (7.4.12.11) が (7.4.12.1) に帰着するかを示せ。
(d) \( B, C, x \) が実数の場合、(7.4.12.12) を幾何学的に解釈せよ。すなわち、ベクトル \( Bx \) と \( Cx \) のなす小さい角度の余弦の下限（または角度の上限）として解釈せよ。