[行列解析6.1.P]

6.1.問題
- 6.1.P1　
行列解析の総本山

6.1.問題

6.1.P1　

次の\(n\)-by-\(n\)system反復アルゴリズムを用いて線形方程式
\(Ax=y\) を解くことを考える。

ここで \(A\) と \(y\) は与えられている。

(i) \(B=I-A\) とおき，systemを
\(x=Bx+y\) の形に書き換える。
(ii) 初期ベクトル \(x^{(0)}\) を選ぶ。
(iii) \(m=0,1,2,\dots\) に対し \(x^{(m+1)}=Bx^{(m)}+y\) を計算し，
\(x^{(m)}\to x\) を期待する。

(a) \(e^{(m)}=x^{(m)}-x\) とおくと，
\(e^{(m)}=B^{m}(x^{(0)}-x)\) が成り立つことを示せ。
(b) したがって \( \rho(I-A) \lt 1 \) ならば，初期近似 \(x^{(0)}\) の選び方に依らず \(x^{(m)}\to x\) と収束することを結論せよ。
(c) ゲルシュゴリンの定理を用いて，本アルゴリズムが動作するための行列 \(A\) に対する簡明かつ明示的な十分条件を与えよ。