[行列解析5.6.P40]

5.6.問題40

(a) 次の行列のスペクトルノルムを計算せよ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

これにより、\(M_n\) 上のスペクトルノルムは \(C_n\) 上の絶対ノルムから誘導されるが、\(M_n\) 上では絶対ノルムではないことがわかる。

(b) 次の行列のスペクトルノルムを計算せよ：

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

これにより、行列の要素をゼロにするとスペクトルノルムが増加する場合があることがわかる。

(d) \(A,B \in M_n\) が実数かつ非負の要素を持ち、\(A \le B\) ならば \(\|A\|_2 \le \|B\|_2\) であることを示せ。